Đề thi bài 3 Olympic 30/4/2013 môn tin học

Đề thi bài 3 Olympic 30/4 môn tin học

Bài 3: Đoạn đường đẹp nhất (Đề thi Tin học 10 – Olympic 30/4/2013)

Trong thời gian vừa qua, người dân ở hành tinh Alpha đã vui mừng chào đó sự xuất hiện của con đường mới XYZ. Được đầu tư rất nhiều nguồn vốn, con đường này được coi là con đường đẹp nhất hành tinh. Những tòa nhà chỉ ở một bên đường với độ cao khác nhau. Theo các giáo sư, đoạn đường đẹp nhất là đoạn đường ở đó độ cao trung bình của các tòa nhà bằng K. Cụ thể, có N tòa nhà nằm cạnh nhau ở một bên của con đường. Tòa nhà thứ i tính từ đầu đường có độ cao là A_i.

Yêu cầu: Hãy tìm đoạn đường dài nhất chứa các tòa nhà liên tiếp sao cho chúng có độ cao trung bình là K.

Dữ liệu vào: cho trong ROAD.INP:

–          Dòng 1: ghi hai số nguyên N và K (1≤ N ≤ 10⁵; 0 ≤ K ≤ 10⁹).

–          N dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi số nguyên A_i (0 ≤ A_i ≤ 10⁹).

Kết quả ra: ghi vào ROAD.OUT:

Nếu không tìm được đoạn nào có các tòa nhà có độ cao trung bình là K thì ghi ra một số 0 duy nhất. Ngược lại, ghi ra hai số u, v với ý nghĩa: u là vị trí bắt đầu của đoạn đường và v là độ dài đoạn đường. Nếu có nhiều đáp án thì ghi ra đáp án có u nhỏ nhất.

Ví dụ:

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI

Cách 1: O(n^3)

Vector nghiệm: (i, j)

Procedure isOK(i, j: integer);        //O(N)
Var p, q: integer; S:longint;
Begin
      S:=0;
      For p:=i to j do
                  S:= S + a[p];
      If S div (i-j+1) = K then
                  If j-i+1 >v then
                  Begin   u:=i;     v:= j-i+1; End;
End;
Procedure Solve;                           //O(N^2)
Var i, j: integer;
Begin
      Max:=0;
For i:=1 to N-1 do
            For j:=i+1 to N do
                        isOK(i,j);
End;

Nhận xét: với độ phức tạp O(N^3) thì chỉ phủ hợp với N<10^3.

Cách 2:           O(N^2)

Procedure isOK(i, j: integer);        //O(1)
Begin
      If (S[j] – S[i-1]) div (i-j+1) = K then
                  If j-i+1 >v then
                  Begin   u:=i;     v:= j-i+1; End;
End;
Procedure Solve;                           //O(N^2)
Var i, j: integer;
Begin
      Max:=0;
For i:=1 to N-1 do
            For j:=i+1 to N do
                        isOK(i,j);
End;

Nhận xét: với độ phức tạp O(N^2) thì chỉ phủ hợp với N<30 000, nhưng vẫn chưa đạt đến N = 10^5 của đề bài.

Cách 3:           O(NlogN)

Procedure isOK(j: integer);           //O(logN)
Var i0: integer;
Begin
      i0:=BinarySearch(S[j] – K(j+1)) then           //O(logN)
      if i0>0 then
                  If j-i0+1 >v then
                  Begin   u:=i0;   v:= j-i0+1; End;
End;
Procedure Solve;                           //O(N)
Var j: integer;
Begin
      Max:=0;
For j:=1 to N do
            isOK(j);
End;
Begin         //main program
      T[i].value = S[i-1] + K.i; T[i].i = i;      //với mọi i, O(N)
      QuickSort(T)               //O(NlogN)
      Solve;                          // O(NlogN)
End.

Nhận xét: độ phức tạp O(NlogN), chạy tốt với N = 10^7.